ПРО НЕСПОДІВАНКИ В МАТЕМАТИЦІ ТА ПОВ’ЯЗАНІ З НИМИ ПРИЧИНИ АВАРІЙ/КАТАСТРОФ

Анотація

Суть проблеми. У низці досліджень стверджується, що класична теорія динамічних систем ігнорує особ-ливі випадки неповної еквівалентності перетворень математичних описів. Інколи навіть наполягають, що (всу-переч поширеній парадигмі) дослідження суто характеристичного полінома системи керування (системи дифе-ренціальних рівнянь) не гарантує правильного судження про параметричну стійкість і запаси стійкості системи, а ймовірне хибне трактування стійкості може стати причиною аварій і навіть катастроф за участі дефектно спроектованого об’єкта. Такий висновок ніби безпосередньо випливає з факту існування прикладів систем, що мають один і той самий характеристичний поліном та докорінно відрізняються за параметричною стійкістю та запасами стійкості у разі варіацій параметрів. У цих дослідженнях висловлено також занепокоєння тим, що повсюдно використовувані пакети прикладних програм — а вони здебільшого потребують еквівалентного в класичному сенсі зведення описової системи диференціальних рівнянь до єдиної «стандартної» форми — не здатні без застосування додаткових контрольних підпрограм забезпечити достовірність розрахунків динамічних систем та гарантувати коректність аналізу їхніх властивостей. Приміром, в первісній системі ніби можуть існувати загрози втрати стійкості, але якщо її звести, як це часто роблять, до системи рівнянь першого порядку, то ці загрози стануть цілком непомітними, і так з’явиться джерело загрозливих несподіванок — аварій і катастроф у разі матеріального втілення систем. Відтак категорично задекларовано обов’язковість додаткових досліджень на коректність усіх результатів роботи інженерів і IT-спеціалістів, а також необхідність відповідних доповнень в начальних програмах підготовки фахівців (магістрів і аспірантів/ад’юнктів).
Мотивація дослідження. Тож природно визріла потреба достеменно з’ясувати, чи справді реально існу-ють невловимі раніше загрози аварій/катастроф і чи справді класична теорія динамічних систем не знає про несподівану можливість втрати коректності своїх задач унаслідок (у процесі) еквівалентних їх трансформацій. У з’ясуванні суті й змісту такого штибу «відкриттів» власне й полягає мета цієї статті. В роботі ретельно досліджено прості приклади систем, що ніби мають підтвердити можливі загрози від еквівалентних в класичному сенсі перетворень математичних описів.
Основні результати дослідження. З’ясувалось, що після еквівалентних перетворень нестійкість, як і не-коректність, насправді не «ховаються», вони не стають непомітними і невистежуваними. Радше дослідники самі свідомо не звертають уваги на можливості суттєвого деформування перетвореної системи. Справді, у разі зведення опису системи до вигляду нормальної системи диференціальних рівнянь першого порядку можливості втрати стійкості стають непомітними не тому, що перетворення були нееквівалентними, а тому, що не передбачається можливість варіювання порядку системи, а відтак ставлення до первісної (де можлива зміна порядку є очевидною) і вивідної систем є принципово різним. При цьому і рівняння регулятора — конкретизований перший інтеграл — є саме проявом ще одного можливого порядку системи, який нема сенсу ігнорувати. Отже на-справді багато чого залежить від того, як укладаємо, бачимо, читаємо, тлумачимо аналітичний опис того чи іншого явища чи процесу. Одному й тому самому характеристичному поліномові можуть відповідати різні характеристичні визнач-ники, що ідентифікують, по суті, різні динамічні системи. Визначник можна свідомо еквівалентно перетворю-вати (деформувати), і кожен перетворений (деформований) визначник ідентифікуватиме нову систему. Тож будь-яке перетворення — це, без перебільшення, творення нового, чогось уже нетакого як було.  Процес розв’язування лінійних звичайних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами та їх варію-вання з метою оцінювання стійкості розв’язків чи коректності аналітичного опису зводиться до розв’язування відповідної алгебричної задачі та дослідження її властивостей та особливостей. Тому енігматичних ефектів чи катастрофічних несподіванок годі чекати у разі професійного, педантично ретельного ведення дослідження.
Висновки. Особливості будь-якої системи глибше за характеристичний поліном відображає характерис-тичний визначник. Усякі еквівалентні перетворення системи обов’язково стають помітними в структурі визначника, навіть якщо вони й не позначатимуться на його коренях (нулях). Унаслідок еквівалентного перетворення обов’язково виникає новотвір — ніби та сама система, але з новими властивостями (а якби було інакше, то пот-реби в перетвореннях не було б жодної). За несподіванку зазвичай сприймають втрату робастності унаслідок вмотивованої деформації системи, яку, виявляється, легко прогнозувати. Неробастні системи, мабуть, мають свою перспективу. Широке їх застосування — ще попереду.