ВИЗНАЧЕННЯ НЕСТАЦІОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ В СИСТЕМІ ДВОХ СФЕРИЧНИХ ТІЛ

Анотація

Запропонована робота присвячена застосуванню прямого методу до дослідження процесів теплообміну в системі двох вкладених сферичних тіл – куля в сферичній оболонці. Припускається що між ними існує ідеальний тепловий контакт, а закон зміни температури зовнішньої поверхні є довільною функцією часу, та рівномірно розподілений по поверхні. Отже, ізотерми всередині цієї конструкції являють собою концентричні сфери, тобто задача є симетричною і в такій постановці розв’язана вперше. Для розв’язування такої задачі паралельно ставиться допоміжна задача про визначення розподілу нестаціонарного температурного поля у двошаровій порожнистій сферичній конструкції з «вилученою» кулею достатньо малого радіуса. При цьому умова симетрії вихідної задачі замінюється умовою другого роду на внутрішній поверхні цієї конструкції. Реалізація розв’язку допоміжної задачі проводиться шляхом застосування методу редукції із використанням концепції квазіпохідних. Надалі використовується схема Фур’є із застосуванням модифікованого методу власних функцій.
Для знаходження розв’язку вихідної задачі використано ідею граничного переходу шляхом прямування радіуса вилученої кулі до нуля. Встановлено, що при такому підході всі власні функції відповідної задачі на власні значення не мають особливостей в нулі, а це означає, що й розв’язки вихідної задачі є обмеженими у всій конструкції. Розв’язок цієї задачі при нульовій температурі на зовнішній поверхні збігається з відомим у літературі. Для ілюстрації запропонованого методу розв’язано модельний приклад про знаходження розподілу температурного поля у системі двох сферичних тіл з різними теплофізичними характеристиками матеріалів. Результати обчислень представлені у вигляді таблиці та об’ємного графіка зміни температури залежно від часу та просторової координати. Узагальнення отриманих результатів на випадок будь-якої скінченної кількості сферичних оболонок є задачею суто технічною, а не принциповою. Зауважимо, що при цьому заміна крайової умови першого роду на будь-яку іншу крайову умову (наприклад, третього роду) не впливає на схему розв’язування аналогічно поставлених задач. Оскільки загальна схема дослідження розподілу температурних полів у багатошарових конструкціях з довільною кількістю шарів за умов наявності внутрішніх джерел тепла детально вивчена, то поста-новка та розв’язування таких задач для системи куля всередині багатошарової оболонки (конструкції) не викликає жодних труднощів.